времени и частоте временного окна
g
:
g
u,ξ
(
t
) =
g
(
t
−
u
)
e
iξt
.
(5)
Энергия
g
u,ξ
сосредоточена в окрестности
u
на интервале размера
σ
t
, измеряемого стандартным отклонением
|
g
|
2
. Ее преобразование
Фурье есть сдвиг на
ξ
преобразования Фурье
ˆ
g
функции:
ˆ
g
u,ξ
(
ω
) = ˆ
g
(
ω
−
ξ
)
e
−
iu
(
ω
−
ξ
)
.
(6)
Поэтому энергия
ˆ
g
u,ξ
локализована около частоты
ξ
на интер-
вале размера
σ
ω
. В частотно-временн´ой плоскости
(
t, ω
)
протяжен-
ность энергии атома
g
u,ξ
символически представляется прямоугольни-
ком Гейзенберга с центром в точке
(
u, ξ
)
, который имеет временную
ширину
σ
t
и частотную ширину
σ
ω
. Согласно принципу неопределен-
ности можно утверждать, что площадь прямоугольника Гейзенберга
удовлетворяет неравенству
σ
t
σ
ω
1
2
.
Эта площадь минимальна, когда
g
— функция Гаусса, в этом случае
g
u,ξ
называют функциями Габора.
Преобразование Фурье с окном коррелирует сигнал
f
с каждым
атомом
g
u,ξ
Sf
(
u, ξ
) =
+
∞
−∞
f
(
t
)
g
(
t
−
u
)
e
−
iξt
dt.
(7)
Такое преобразование называется кратковременным преобразова-
нием Фурье, потому что умножение на
g
(
t
−
u
)
локализует интеграл
Фурье в окрестности
t
=
u
. Его дискретный аналог называется бы-
стрым преобразованием Фурье с окном и может быть записан в сле-
дующем виде:
Sf
[
m, l
] =
N
−
1
n
=0
f
[
n
]
g
[
n
−
m
] exp
−
il
2
πn
N
.
(8)
Предположим, что для любой точки
(
u, ξ
)
существует единствен-
ный атом
φ
γ
(
u, ξ
)
с центром в точке
(
u, ξ
)
в частотно-временн´ой
плоскости. Частотно-временной прямоугольник для
φ
γ
(
u, ξ
)
— это
окрестность
(
u, ξ
)
, где энергию
f
можно определить как
P
T
f
(
u, ξ
) =
+
∞
−∞
f
(
t
)
φ
∗
(
u, ξ
)
dt
2
.
(9)
Плотность энергии, называемую спектрограммой, можно найти по
формуле [2]:
P
S
f
(
u, ξ
) =
|
Sf
(
u, ξ
)
|
2
=
+
∞
−∞
f
(
t
)
g
(
t
−
u
)
e
−
iξt
dt
2
.
(10)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2008. № 3 105
