Для одномерного сигнала дискретное интегральное преобразование
в общем случае есть сумма
s
n
=
n
f
n
g
n,n
,
0
≤
n < N,
0
≤
n < N,
(1)
где
f
n
—
исходный сигнал
,
содержащий
N
дискретных значений
,
s
n
—
результат преобразования и
g
n,n
—
ядро преобразования
.
Частным случаем интегрального преобразования является свертка
,
ядро которой может быть представлено как
g
n,n
=
c
n
−
n
=
c
k
,
0
≤
k < K,
(2)
где
c
n
−
n
—
константы
,
определяемые только разностью
k
= (
n
−
n
)
и
K
—
размер ядра
(
максимальная разность
).
Тогда выражение
(1)
при
-
мет вид
s
n
=
n
f
n
c
n
−
n
.
Число элементарных умножений и сложений
,
необходимое для полу
-
чения всех значений
s
n
,
равно
NK
.
Разностный метод
.
В основе предлагаемого метода лежит тот факт
,
что суммы
s
n
, s
n
+1
, . . .
обычно вычисляются последовательно друг за
другом
.
Разность между соседними суммами представим как
Δ
s
n
=
s
n
−
s
n
−
1
=
n
f
n
c
(
n
−
n
)
−
n
f
n
c
(
n
−
n
−
1)
=
=
n
f
n
c
(
n
−
n
)
−
c
(
n
−
n
−
1)
=
n
f
n
Δ
c
(
n
−
n
)
,
где
Δ
c
(
n
−
n
)
= Δ
c
k
=
⎧⎨
⎩
−
c
0
,
k
= 0
,
c
(
k
−
1)
−
c
k
,
0
< k
≤
K,
c
(
k
−
1)
,
k
=
K.
Метод с вычислением разностей эффективен в том случае
,
когда слож
-
ность
(
число операций
)
вычисления разности
s
n
меньше сложности по
-
лучения всей суммы
s
n
.
Это имеет место
,
когда разностная последова
-
тельность
(
c
0
. . . c
K
)
является сильно разреженной
,
то есть содержит
достаточное количество нулевых элементов
,
позволяющих сократить
вычисления
.
Разностный подход ранее применялся для усреднения одномерных
сигналов
[2].
Свертка с прямоугольным импульсом
произвольной
дли
-
ны
K
получается путем вычитания
f
(
n
−
K/
2
−
1)
(
в точке
,
покидающей
окно
)
и добавления
f
(
n
+
K/
2)
(
в точке
,
присоединяющейся к окну
):
s
n
=
s
n
−
1
+
1
K
−
f
(
n
−
K/
2
−
1)
+
f
(
n
+
K/
2)
.
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Приборостроение
”. 2005.
№
3 59
