8) тепловой контакт между элементом и керамикой считаем иде-
альным.
Основываясь на некоторых из приведенных допущений, можно
заключить, что тепловая модель представляет собой керамический
параллелепипед, габаритные размеры которого совпадают с габарит-
ными размерами пакета микроплат. В керамический параллелепипед
вкраплены параллелепипеды меньшего размера — электронные эле-
менты, имеющие теплопроводность и являющиеся объемными источ-
никами теплоты.
Модель рассчитываем с помощью метода конечных разностей
(МКР), для чего разбиваем тепловую модель на сетку элементарных
объемов (параллелепипедов), составляем на базе этой сетки систе-
му линейных алгебраических уравнений и решаем ее с помощью
итерационных методов [21, 22].
Конечно-элементная сетка в общем случае имеет неравномерный
шаг по координатным осям, а центры элементарных объемов совпа-
даютс узлами сетки. Для каждого внутреннего элементарного объема
составляем уравнение теплового баланса:
−
P
out
x
+
P
in
x
−
P
out
y
+
P
in
y
−
P
out
z
+
P
in
z
+
X
n
,Y
n
,Z
n
q
v
dx
n
dy
n
dz
n
= 0
,
где
P
in
m
, P
out
m
— тепловые потоки в элементарный объем и из него в
направлении оси
m
=
{
x, y, z
}
;
x
n
,
y
n
,
z
n
, — размеры элементарно-
го объема. Уравнение (3) можно представить в конечно-разностной
форме путем следующей замены:
P
out
m
=
λ
(
t
m
−
t
m
+1
)
h
m,m
+1
S
m,m
+1
;
P
in
m
=
λ
(
t
m
−
1
−
t
m
)
h
m
−
1
,m
·
S
m
−
1
,m
,
где
t
m
— температура в
m
-м узле;
h
m,m
+1
— расстояние между узлами
m
и
m
+ 1
;
S
m,m
+1
— площадь поперечного сечения, через которое
проходиттепловой поток отэлементарного объема с узлом
m
в эле-
ментарный объем с узлом
m
+ 1
.
Для элементарных объемов, расположенных на гранях модуля, ана-
логичным образом составляли конечно-разностные уравнения с вве-
дением граничных условий первого, второго и третьего родов. Полу-
ченные конечно-разностные уравнения использовали для составления
системы линейных алгебраических уравнений, представленной в виде
матрицы теплопроводностей. Для решения системы применяли итера-
ционный метод последовательной релаксации с изменяемым коэффи-
циентом релаксации
α
для увеличения скорости сходимости решения.
В результате расчета получен массив значений температур в узлах
сетки. По этим данным при необходимости можно восстановить трех-
мерное графическое изображение распределения температуры внутри
120 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2009. № 1
